python-machine-learning

机器学习算法Python实现

目录

• 机器学习算法Python实现
  • 一、线性回归
    • 1、代价函数
    • 2、梯度下降算法
    • 3、均值归一化
    • 4、最终运行结果
    • 5、使用scikit-learn库中的线性模型实现
  • 二、逻辑回归
    • 1、代价函数
    • 2、梯度
    • 3、正则化
    • 4、S型函数（即）
    • 5、映射为多项式
    • 6、使用的优化方法
    • 7、运行结果
    • 8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
  • 逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll
    • 1、随机显示100个数字
    • 2、OneVsAll
    • 3、手写数字识别
    • 4、预测
    • 5、运行结果
    • 6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
  • 三、BP神经网络
    • 1、神经网络model
    • 2、代价函数
    • 3、正则化
    • 4、反向传播BP
    • 5、BP可以求梯度的原因
    • 6、梯度检查
    • 7、权重的随机初始化
    • 8、预测
    • 9、输出结果
  • 四、SVM支持向量机
    • 1、代价函数
    • 2、Large Margin
    • 3、SVM Kernel（核函数）
    • 4、使用中的模型代码
    • 5、运行结果
  • 五、K-Means聚类算法
    • 1、聚类过程
    • 2、目标函数
    • 3、聚类中心的选择
    • 4、聚类个数K的选择
    • 5、应用——图片压缩
    • 6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类
    • 7、运行结果
  • 六、PCA主成分分析（降维）
    • 1、用处
    • 2、2D–>1D，nD–>kD
    • 3、主成分分析PCA与线性回归的区别
    • 4、PCA降维过程
    • 5、数据恢复
    • 6、主成分个数的选择（即要降的维度）
    • 7、使用建议
    • 8、运行结果
    • 9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维
  • 七、异常检测 Anomaly Detection
    • 1、高斯分布（正态分布）
    • 2、异常检测算法
    • 3、评价的好坏，以及的选取
    • 4、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）
    • 5、多元高斯分布
    • 6、单元和多元高斯分布特点
    • 7、程序运行结果

[注]：吴恩达（Andrew Ng）在coursera的机器学习课程习题的python实现， 目前包括ex1, ex2, ex3, ex4, ex5,ex6.python代码是完全根据matlib代码修改而来，几乎一一对应。

一、线性回归

• 全部代码

1、代价函数

• 

• 其中：

• 下面就是要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近

• 共有m条数据，其中代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消

• 前面有系数2的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，2可以消去

• 实现代码：

# 计算代价函数
def computerCost(X,y,theta):
    m = len(y)
    J = 0
    
    J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J
    return J

• 注意这里的X是真实数据前加了一列1，因为有theta(0)

2、梯度下降算法

• 代价函数对求偏导得到：
  
• 所以对theta的更新可以写为：
  
• 其中为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取0.01,0.03,0.1,0.3…
• 为什么梯度下降可以逐步减小代价函数
• 假设函数f(x)
• 泰勒展开：f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)
• 令：△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长α
• 将△x代入泰勒展开式中：f(x+△x)=f(x)-α*[f'(x)]²+o(△x)
• 可以看出，α是取得很小的正数，[f'(x)]²也是正数，所以可以得出：f(x+△x)<=f(x)
• 所以沿着负梯度放下，函数在减小，多维情况一样。
• 实现代码

# 梯度下降算法
def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters):
    m = len(y)      
    n = len(theta)
    
    temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters)))   # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式
    
    
    J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值
    
    for i in range(num_iters):  # 遍历迭代次数    
        h = np.dot(X,theta)     # 计算内积，matrix可以直接乘
        temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y)))   #梯度的计算
        theta = temp[:,i]
        J_history[i] = computerCost(X,y,theta)      #调用计算代价函数
        print '.',      
    return theta,J_history  

3、均值归一化

• 目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法
• 
• 其中 为所有此feture数据的平均值
• 可以是最大值-最小值，也可以是这个feature对应的数据的标准差
• 实现代码：

# 归一化feature
def featureNormaliza(X):
    X_norm = np.array(X)            #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算
    #定义所需变量
    mu = np.zeros((1,X.shape[1]))   
    sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))
    
    mu = np.mean(X_norm,0)          # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行）
    sigma = np.std(X_norm,0)        # 求每一列的标准差
    for i in range(X.shape[1]):     # 遍历列
        X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i]  # 归一化
    
    return X_norm,mu,sigma

• 注意预测的时候也需要均值归一化数据

4、最终运行结果

• 代价随迭代次数的变化
  ![enter description here][1]

5、使用scikit-learn库中的线性模型实现

• 导入包

from sklearn import linear_model
from sklearn.preprocessing import StandardScaler    #引入缩放的包

• 归一化

    # 归一化操作
    scaler = StandardScaler()   
    scaler.fit(X)
    x_train = scaler.transform(X)
    x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))

• 线性模型拟合

    # 线性模型拟合
    model = linear_model.LinearRegression()
    model.fit(x_train, y)

• 预测

    #预测结果
    result = model.predict(x_test)

---

二、逻辑回归

• 全部代码

1、代价函数

• 
• 可以综合起来为： 其中：
• 为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
• 的图像如下，即y=1时： ![enter description here][2]

可以看出，当趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值

• 同理的图像如下（y=0）：
  ![enter description here][3]

2、梯度

• 同样对代价函数求偏导：
  可以看出与线性回归的偏导数一致
• 推导过程 ![enter description here][4]

3、正则化

• 目的是为了防止过拟合
• 在代价函数中加上一项
• 注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化
• 正则化后的代价：

# 代价函数
def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
    m = len(y)
    J = 0
    
    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))    # 计算h(z)
    theta1 = initial_theta.copy()           # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0 
    theta1[0] = 0   
    
    temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
    J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m   # 正则化的代价方程
    return J

• 正则化后的代价的梯度

# 计算梯度
def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
    m = len(y)
    grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))
    
    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
    theta1 = initial_theta.copy()
    theta1[0] = 0

    grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
    return grad  

4、S型函数（即）

• 实现代码：

# S型函数    
def sigmoid(z):
    h = np.zeros((len(z),1))    # 初始化，与z的长度一置
    
    h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))
    return h

5、映射为多项式

• 因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合
• eg:映射为2次方的形式:
• 实现代码：

# 映射为多项式 
def mapFeature(X1,X2):
    degree = 3;                     # 映射的最高次方
    out = np.ones((X1.shape[0],1))  # 映射后的结果数组（取代X）
    '''
    这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
    '''
    for i in np.arange(1,degree+1): 
        for j in range(i+1):
            temp = X1**(i-j)*(X2**j)    #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
            out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
    return out

6、使用scipy的优化方法

• 梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数
• 调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
• costFunction是自己实现的一个求代价的函数，
• initial_theta表示初始化的值,
• fprime指定costFunction的梯度
• args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回

    result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))    

7、运行结果

• data1决策边界和准确度
  ![enter description here][5] ![enter description here][6]
• data2决策边界和准确度
  ![enter description here][7] ![enter description here][8]

8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

• 导入包

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cross_validation import train_test_split
import numpy as np

• 划分训练集和测试集

    # 划分为训练集和测试集
    x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)

• 归一化

    # 归一化
    scaler = StandardScaler()
    x_train = scaler.fit_transform(x_train)
    x_test = scaler.fit_transform(x_test)

• 逻辑回归

    #逻辑回归
    model = LogisticRegression()
    model.fit(x_train,y_train)

• 预测

    # 预测
    predict = model.predict(x_test)
    right = sum(predict == y_test)
    
    predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1)))   # 将预测值和真实值放在一块，好观察
    print predict
    print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0]))          #计算在测试集上的准确度

---

逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

• 全部代码

1、随机显示100个数字

• 我没有使用scikit-learn中的数据集，像素是20*20px，彩色图如下 ![enter description here][9] 灰度图： ![enter description here][10]
• 实现代码：

# 显示100个数字
def display_data(imgData):
    sum = 0
    '''
    显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可）
    - 初始化一个二维数组
    - 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组
    - 显示即可
    '''
    pad = 1
    display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))
    for i in range(10):
        for j in range(10):
            display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F"))    # order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行
            sum += 1
            
    plt.imshow(display_array,cmap='gray')   #显示灰度图像
    plt.axis('off')
    plt.show()

2、OneVsAll

• 如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了
• 如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推… ![enter description here][11]
• 可以看出大于2类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类

3、手写数字识别

• 共有0-9，10个数字，需要10次分类
• 由于数据集y给出的是0,1,2...9的数字，而进行逻辑回归需要0/1的label标记，所以需要对y处理
• 说一下数据集，前500个是0,500-1000是1,...,所以如下图，处理后的y，前500行的第一列是1，其余都是0,500-1000行第二列是1，其余都是0… ![enter description here][12]
• 然后调用梯度下降算法求解theta
• 实现代码：

# 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta    
def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):
    # 初始化变量
    m,n = X.shape
    all_theta = np.zeros((n+1,num_labels))  # 每一列对应相应分类的theta,共10列
    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))       # X前补上一列1的偏置bias
    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
    initial_theta = np.zeros((n+1,1))       # 初始化一个分类的theta
    
    # 映射y
    for i in range(num_labels):
        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
    
    #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',')    
    
    '''遍历每个分类，计算对应的theta值'''
    for i in range(num_labels):
        result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法
        all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1)   # 放入all_theta中
        
    all_theta = np.transpose(all_theta) 
    return all_theta

4、预测

• 之前说过，预测的结果是一个概率值，利用学习出来的theta代入预测的S型函数中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为0的将y映射在第一列，为1的映射在第二列，依次类推
• 实现代码：

# 预测
def predict_oneVsAll(all_theta,X):
    m = X.shape[0]
    num_labels = all_theta.shape[0]
    p = np.zeros((m,1))
    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))   #在X最前面加一列1
    
    h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta)))  #预测

    '''
    返回h中每一行最大值所在的列号
    - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
    - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
    '''
    p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))  
    for i in np.arange(1, m):
        t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))
        p = np.vstack((p,t))
    return p

5、运行结果

• 10次分类，在训练集上的准确度：
  ![enter description here][13]

6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

• 1、导入包

from scipy import io as spio
import numpy as np
from sklearn import svm
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

• 2、加载数据

    data = loadmat_data("data_digits.mat") 
    X = data['X']   # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px
    y = data['y']   # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)
    y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)

• 3、拟合模型

    model = LogisticRegression()
    model.fit(X, y) # 拟合

• 4、预测

    predict = model.predict(X) #预测
    
    print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)

• 5、输出结果（在训练集上的准确度） ![enter description here][14]

---

三、BP神经网络

• 全部代码

1、神经网络model

• 先介绍个三层的神经网络，如下图所示

• 输入层（input layer）有三个units（为补上的bias，通常设为1）

• 表示第j层的第i个激励，也称为为单元unit

• 为第j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重 ![enter description here][15]

• 所以可以得到：

• 隐含层：
  
  
  

• 输出层
  其中，S型函数，也成为激励函数

• 可以看出 为3x4的矩阵，为1x4的矩阵

• ==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）

2、代价函数

• 假设最后输出的，即代表输出层有K个单元
• 其中，代表第i个单元输出
• 与逻辑回归的代价函数差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）

3、正则化

• L–>所有层的个数
• –>第l层unit的个数
• 正则化后的代价函数为
  ![enter description here][16]
• 共有L-1层，
• 然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)
• 正则化后的代价函数实现代码：

# 代价函数
def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
    length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
    # 还原theta1和theta2
    Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
    Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
    
    # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')
    
    m = X.shape[0]
    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
    # 映射y
    for i in range(num_labels):
        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
     
    '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''    
    Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
    Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
    Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
    Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
    # 正则化向theta^2
    term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
    
    '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
    a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))      
    z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))    
    a2 = sigmoid(z2)
    a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
    z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
    h  = sigmoid(z3)    
    '''代价'''    
    J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m   
    
    return np.ravel(J)

4、反向传播BP

• 上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度

• BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度

• 假设4层的神经网络,记为–>l层第j个单元的误差

• 《===》（向量化）

• 

• 

• 没有，因为对于输入没有误差

• 因为S型函数的导数为：，所以上面的和可以在前向传播中计算出来

• 反向传播计算梯度的过程为：

• （是大写的）

• for i=1-m:
  -
  -正向传播计算（l=2,3,4…L）
  -反向计算、…；
  -
  -
  

• 最后，即得到代价函数的梯度

• 实现代码：

# 梯度
def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
    length = nn_params.shape[0]
    Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1).copy()   # 这里使用copy函数，否则下面修改Theta的值，nn_params也会一起修改
    Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1).copy()
    m = X.shape[0]
    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系    
    # 映射y
    for i in range(num_labels):
        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
     
    '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
    Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
    Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
    Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
    Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
    
    Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape))  #第一层到第二层的权重
    Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape))  #第二层到第三层的权重
      
   
    '''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''
    a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
    z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
    a2 = sigmoid(z2)
    a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
    z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
    h  = sigmoid(z3)
    
    
    '''反向传播，delta为误差，'''
    delta3 = np.zeros((m,num_labels))
    delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
    for i in range(m):
        #delta3[i,:] = (h[i,:]-class_y[i,:])*sigmoidGradient(z3[i,:])  # 均方误差的误差率
        delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]                              # 交叉熵误差率
        Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
        delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
        Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))
    
    Theta1[:,0] = 0
    Theta2[:,0] = 0          
    '''梯度'''
    grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
    return np.ravel(grad)

5、BP可以求梯度的原因

• 实际是利用了链式求导法则
• 因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
• 大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。 ![enter description here][17]
• 求误差更详细的推导过程： ![enter description here][18]

6、梯度检查

• 检查利用BP求的梯度是否正确
• 利用导数的定义验证：
• 求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近
• 验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了
• 实现代码：

# 检验梯度是否计算正确
# 检验梯度是否计算正确
def checkGradient(Lambda = 0):
    '''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''
    input_layer_size = 3
    hidden_layer_size = 5
    num_labels = 3
    m = 5
    initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size); 
    initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
    X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
    y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y
    
    y = y.reshape(-1,1)
    nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1)))  #展开theta 
    '''BP求出梯度'''
    grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size, 
                     num_labels, X, y, Lambda)  
    '''使用数值法计算梯度'''
    num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
    step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
    e = 1e-4
    for i in range(nn_params.shape[0]):
        step[i] = e
        loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
                              num_labels, X, y, 
                              Lambda)
        loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
                              num_labels, X, y, 
                              Lambda)
        num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
        step[i]=0
    # 显示两列比较
    res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
    print res

7、权重的随机初始化

• 神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。
• 所以应该初始化为接近0的数
• 实现代码

# 随机初始化权重theta
def randInitializeWeights(L_in,L_out):
    W = np.zeros((L_out,1+L_in))    # 对应theta的权重
    epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
    W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
    return W

8、预测

• 正向传播预测结果
• 实现代码

# 预测
def predict(Theta1,Theta2,X):
    m = X.shape[0]
    num_labels = Theta2.shape[0]
    #p = np.zeros((m,1))
    '''正向传播，预测结果'''
    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
    h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
    h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
    h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))
    
    '''
    返回h中每一行最大值所在的列号
    - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
    - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
    '''
    #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
    p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))  
    for i in np.arange(1, m):
        t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
        p = np.vstack((p,t))
    return p 

9、输出结果

• 梯度检查：
  ![enter description here][19]
• 随机显示100个手写数字
  ![enter description here][20]
• 显示theta1权重
  ![enter description here][21]
• 训练集预测准确度
  ![enter description here][22]
• 归一化后训练集预测准确度
  ![enter description here][23]

---

四、SVM支持向量机

1、代价函数

• 在逻辑回归中，我们的代价为：
  ，
  其中：，
• 如图所示，如果y=1，cost代价函数如图所示
  ![enter description here][24]
  我们想让，即z>>0，这样的话cost代价函数才会趋于最小（这是我们想要的），所以用途中红色的函数代替逻辑回归中的cost
• 当y=0时同样，用代替 ![enter description here][25]
• 最终得到的代价函数为：
  
  最后我们想要
• 之前我们逻辑回归中的代价函数为：
  
  可以认为这里的，只是表达形式问题，这里C的值越大，SVM的决策边界的margin也越大，下面会说明

2、Large Margin

• 如下图所示,SVM分类会使用最大的margin将其分开
  ![enter description here][26]

• 先说一下向量内积

• ，

• 表示u的欧几里得范数（欧式范数），

• 向量V在向量u上的投影的长度记为p，则：向量内积：
  
  ![enter description here][27]
  根据向量夹角公式推导一下即可，

• 前面说过，当C越大时，margin也就越大，我们的目的是最小化代价函数J(θ),当margin最大时，C的乘积项要很小，所以近似为：
  ，
  我们最后的目的就是求使代价最小的θ

• 由
  可以得到：
  ，p即为x在θ上的投影

• 如下图所示，假设决策边界如图，找其中的一个点，到θ上的投影为p,则或者，若是p很小，则需要很大，这与我们要求的θ使最小相违背，所以最后求的是large margin
  ![enter description here][28]

3、SVM Kernel（核函数）

• 对于线性可分的问题，使用线性核函数即可

• 对于线性不可分的问题，在逻辑回归中，我们是将feature映射为使用多项式的形式，SVM中也有多项式核函数，但是更常用的是高斯核函数，也称为RBF核

• 高斯核函数为：
  假设如图几个点， ![enter description here][29] 令：
  
  . . .

• 可以看出，若是x与距离较近，==》，（即相似度较大）
  若是x与距离较远，==》，（即相似度较低）

• 高斯核函数的σ越小，f下降的越快
  ![enter description here][30] ![enter description here][31]

• 如何选择初始的

• 训练集：

• 选择：

• 对于给出的x，计算f,令：所以：

• 最小化J求出θ，
  

• 如果，==》预测y=1

4、使用scikit-learn中的SVM模型代码

• 全部代码
• 线性可分的,指定核函数为linear：

    '''data1——线性分类'''
    data1 = spio.loadmat('data1.mat')
    X = data1['X']
    y = data1['y']
    y = np.ravel(y)
    plot_data(X,y)
    
    model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数

• 非线性可分的，默认核函数为rbf

    '''data2——非线性分类'''
    data2 = spio.loadmat('data2.mat')
    X = data2['X']
    y = data2['y']
    y = np.ravel(y)
    plt = plot_data(X,y)
    plt.show()
    
    model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y)     # gamma为核函数的系数，值越大拟合的越好

5、运行结果

• 线性可分的决策边界：
  ![enter description here][32]
• 线性不可分的决策边界：
  ![enter description here][33]

---

五、K-Means聚类算法

• 全部代码

1、聚类过程

• 聚类属于无监督学习，不知道y的标记分为K类

• K-Means算法分为两个步骤

• 第一步：簇分配，随机选K个点作为中心，计算到这K个点的距离，分为K个簇

• 第二步：移动聚类中心：重新计算每个簇的中心，移动中心，重复以上步骤。

• 如下图所示：

• 随机分配的聚类中心
  ![enter description here][34]

• 重新计算聚类中心，移动一次
  ![enter description here][35]

• 最后10步之后的聚类中心
  ![enter description here][36]

• 计算每条数据到哪个中心最近实现代码：

# 找到每条数据距离哪个类中心最近    
def findClosestCentroids(X,initial_centroids):
    m = X.shape[0]                  # 数据条数
    K = initial_centroids.shape[0]  # 类的总数
    dis = np.zeros((m,K))           # 存储计算每个点分别到K个类的距离
    idx = np.zeros((m,1))           # 要返回的每条数据属于哪个类
    
    '''计算每个点到每个类中心的距离'''
    for i in range(m):
        for j in range(K):
            dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1))
    
    '''返回dis每一行的最小值对应的列号，即为对应的类别
    - np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值
    - np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标
     - 注意：可能最小值对应的坐标有多个，where都会找出来，所以返回时返回前m个需要的即可（因为对于多个最小值，属于哪个类别都可以）
    '''  
    dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1))
    return idx[0:dis.shape[0]]  # 注意截取一下

• 计算类中心实现代码：

# 计算类中心
def computerCentroids(X,idx,K):
    n = X.shape[1]
    centroids = np.zeros((K,n))
    for i in range(K):
        centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1)   # 索引要是一维的,axis=0为每一列，idx==i一次找出属于哪一类的，然后计算均值
    return centroids

2、目标函数

• 也叫做失真代价函数
• 
• 最后我们想得到：
  ![enter description here][37]
• 其中表示第i条数据距离哪个类中心最近，
• 其中即为聚类的中心

3、聚类中心的选择

• 随机初始化，从给定的数据中随机抽取K个作为聚类中心
• 随机一次的结果可能不好，可以随机多次，最后取使代价函数最小的作为中心
• 实现代码：(这里随机一次)

# 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心
def kMeansInitCentroids(X,K):
    m = X.shape[0]
    m_arr = np.arange(0,m)      # 生成0-m-1
    centroids = np.zeros((K,X.shape[1]))
    np.random.shuffle(m_arr)    # 打乱m_arr顺序    
    rand_indices = m_arr[:K]    # 取前K个
    centroids = X[rand_indices,:]
    return centroids

4、聚类个数K的选择

• 聚类是不知道y的label的，所以不知道真正的聚类个数
• 肘部法则（Elbow method）
• 作代价函数J和K的图，若是出现一个拐点，如下图所示，K就取拐点处的值，下图此时K=3 ![enter description here][38]
• 若是很平滑就不明确，人为选择。
• 第二种就是人为观察选择

5、应用——图片压缩

• 将图片的像素分为若干类，然后用这个类代替原来的像素值
• 执行聚类的算法代码：

这里要解释下为什么可以用作图像压缩。压缩其实就是减少了表示每像素的字节数，比如RGB32使用32位来表示一个像素，如果将像素值换成16位表示，则可以图片存储大小减少一半。如何做到呢？KMeans设置聚类中心为16个点，将图片像素聚类为16个簇，聚类完成后每个簇都可以用对应的聚类中心来表示，这个每个像素只占了2个字节。

# 聚类算法
def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process):
    m,n = X.shape                   # 数据条数和维度
    K = initial_centroids.shape[0]  # 类数
    centroids = initial_centroids   # 记录当前类中心
    previous_centroids = centroids  # 记录上一次类中心
    idx = np.zeros((m,1))           # 每条数据属于哪个类
    
    for i in range(max_iters):      # 迭代次数
        print u'迭代计算次数：%d'%(i+1)
        idx = findClosestCentroids(X, centroids)
        if plot_process:    # 如果绘制图像
            plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程
            previous_centroids = centroids  # 重置
        centroids = computerCentroids(X, idx, K)    # 重新计算类中心
    if plot_process:    # 显示最终的绘制结果
        plt.show()
    return centroids,idx    # 返回聚类中心和数据属于哪个类

6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类

• 导入包

    from sklearn.cluster import KMeans

• 使用模型拟合数据

    model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类，拟合数据

• 聚类中心

    centroids = model.cluster_centers_  # 聚类中心

7、运行结果

• 二维数据类中心的移动
  ![enter description here][39]
• 图片压缩
  ![enter description here][40]

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六、PCA主成分分析（降维）

• 全部代码

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